Содержание
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10
ФУНКЦИИ 10
Основные свойства функций 11
Четность и нечетность 11
Периодичность 12
Нули функции 12
Монотонность (возрастание, убывание) 13
Экстремумы (максимумы и минимумы) 13
Асимптоты 14
Обратные функции 15
Нахождение формулы для функции, обратной данной 15
Преобразования графиков функций 16
Преобразование симметрии относительно оси х 16
Преобразование симметрии относительно оси у 17
Параллельный перенос вдоль оси x 18
Параллельный перенос вдоль оси y 19
Сжатие и растяжение вдоль оси х 20
Сжатие и растяжение вдоль оси у 21
Построение графика функции у = |f(x)| 22
Построение графика функции у = f(|x|) 22
Построение графика обратной функции 23
Построение графиков сложных функций с помощью последовательных преобразований графиков элементарных функций 24
Линейная функция 26
Частные случаи линейной функции (прямая пропорциональность и постоянная функция) 26
Взаимное расположение графиков линейных функций 26
Свойства линейной функции 27
Построение графика линейной функции по двум точкам 28
Построение графика линейной функции у = kx + b с помощью элементарных преобразований графика функции у = х 29
Квадратичная функция 30
Различные представления квадратичной функции 30
Выделение полного квадрата 30
Разложение на линейные множители 30
Свойства квадратичной функции и ее графика 31
Направление ветвей, характерные точки и ось симметрии параболы 32
Построение графика квадратичной функции по направлению ветвей, характерным точкам и оси симметрии параболы (примеры) 33
Построение графика квадратичной функции с помощью элементарных преобразований графика функции у = х^2 34
Степенные функции с натуральными показателями степени 36
Степенные функции с целыми отрицательными показателями степени 37
Функции у = x^(1/n) 38
Степенные функции с действительными показателями степени 39
Показательная функция 40
Логарифмическая функция 41
Тригонометрические функции 42
Обратные тригонометрические функции 46
УРАВНЕНИЯ 48
Линейные уравнения 49
Квадратные уравнения 50
Неполные квадратные уравнения 51
Теоремы Виета 52
Формулы Виета для корней приведенного квадратного уравнения 52
Уравнения, сводящиеся к квадратным 53
Иррациональные уравнения 54
Простейшие показательные уравнения 55
Простейшие логарифмические уравнения 55
Простейшие тригонометрические уравнения 56
Уравнение с двумя переменными и его график 59
НЕРАВЕНСТВА 61
Линейные неравенства 62
Квадратные неравенства 63
Метод интервалов для неравенств вида (x-al)^k1(x-a2)^k2…(x-an)^kn > 0 64
Применение метода интервалов для решения дробно-рациональных неравенств 65
Иррациональные неравенства 66
Показательные неравенства 67
Логарифмические неравенства 67
Простейшие тригонометрические неравенства 68
СИСТЕМЫ ДВУХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 71
Основные методы решения систем уравнений 72
Метод подстановки 72
Метод сложения 73
Графический метод решения системы двух уравнений с двумя неизвестными 74
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными 75
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ 76
Производная 76
Геометрический смысл производной 76
Уравнение касательной 76
Вторая производная 77
Физический смысл производной 77
Правила дифференцирования 77
Производная сложной функции 77
Применение производной к исследованию функций 78
Монотонность 78
Экстремумы 79
Схема применения производной для нахождения интервалов монотонности и экстремумов 80
Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке 81
Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке 81
ПЕРВООБРАЗНАЯ И ИНТЕГРАЛ 82
Первообразная 82
Основное свойство первообразных 82
Неопределенный интеграл 82
Правила интегрирования 82
Определенный интеграл 83
Связь между определенным интегралом и первообразной (формула Ньютона-Лейбница) 83
Основные свойства определенного интеграла 83
Геометрический смысл определенного интеграла 84
Физический смысл определенного интеграла 84
Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла 85
ГЕОМЕТРИЯ 86
ПЛАНИМЕТРИЯ 86
Прямые и углы на плоскости 86
Виды углов 86
Углы с соответственно параллельными сторонами 86
Углы с соответственно перпендикулярными сторонами 86
Параллельные прямые 87
Признаки и свойства параллельных прямых 87
Перпендикуляр и наклонные 88
Треугольники 89
Произвольный треугольник 89
Соотношения между сторонами и углами 89
Признаки равенства треугольников 90
Признаки подобия треугольников 90
Свойство прямой, параллельной стороне треугольника 90
Замечательные линии треугольника 91
Свойства медиан 92
Свойства биссектрис 93
Свойства высот 94
Свойства серединных перпендикуляров 95
Свойства средней линии 96
Вписанная и описанная окружности 96
Площадь треугольника 97
Равнобедренный треугольник 98
Свойства и признаки равнобедренного треугольника 98
Равносторонний треугольник 99
Свойства и признаки равностороннего треугольника 99
Высота и площадь равностороннего треугольника 99
Прямоугольный треугольник 100
Признаки равенства прямоугольных треугольников 100
Признаки подобия прямоугольных треугольников 101
Теорема Пифагора 101
Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике 102
Свойства проекций катетов 102
Частные случаи прямоугольных треугольников 102
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник 103
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника 103
Площадь прямоугольного треугольника 103
Четырехугольники 104
Виды четырехугольников 104
Произвольный четырехугольник 104
Четырехугольник, описанный около окружности 105
Четырехугольник, вписанный в окружность 105
Параллелограмм 106
Свойства и признаки параллелограмма 106
Площадь параллелограмма 108
Свойство произвольного четырехугольника, связанное с параллелограммом 108
Ромб 109
Свойства и признаки ромба 109
Окружность, вписанная в ромб 110
Площадь ромба 110
Прямоугольник 111
Свойства и признаки прямоугольника 111
Окружность, описанная около прямоугольника 112
Площадь прямоугольника 112
Связь между прямоугольником и ромбом 112
Квадрат 113
Свойства и признаки квадрата 113
Окружность, описанная около квадрата 114
Окружность, вписанная в квадрат 114
Площадь квадрата 114
Трапеция 115
Элементы трапеции 115
Площадь трапеции 115
Свойства трапеции 116
Окружность 118
Прямые и отрезки, связанные с окружностью 118
Углы, связанные с окружностью. Угловая мера дуги окружности 118
Радианная мера угла 118
Свойства вписанных углов 119
Углы между хордами, касательными и секущими 120
Свойства хорд 121
Соотношения между длинами хорд, отрезков касательных и секущих 122
Свойства дуг и хорд 123
Длина дуги и окружности 123
Площадь круга и его частей 123
Взаимное расположение двух окружностей. Общие касательные 124
Многоугольники 126
Произвольный многоугольник 126
Правильные многоугольники 127
Геометрические места точек 128
Некоторые геометрические места точек на плоскости 128
Преобразования фигур. Виды симметрии 130
Преобразования фигур 130
Виды симметрии фигур 132
Декартовы координаты 133
Уравнение прямой 134
Общее уравнение прямой 134
Уравнение прямой с угловым коэффициентом 135
Взаимное расположение двух прямых, заданных общим уравнением прямой 136
Взаимное расположение двух прямых, заданных уравнением прямой с угловым коэффициентом 137
Уравнение окружности 138
ВЕКТОРЫ 139
Обозначения векторов 139
Нулевой вектор 139
Коллинеарные векторы 139
Виды коллинеарных векторов 139
Действия над векторами 140
Сложение двух векторов 140
Сложение нескольких векторов 140
Вычитание векторов 140
Умножение вектора на число 141
Скалярное умножение векторов 141
Координаты вектора на плоскости и в пространстве 142
Действия над векторами в координатном представлении 143
Взаимное расположение векторов 144
Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам 145
Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам 145
Разложение вектора по координатным векторам 146
СТЕРЕОМЕТРИЯ 147
Прямые и плоскости в пространстве 147
Способы задания точки 147
Способы задания прямой 147
Способы задания плоскости 148
Параллельность прямых и плоскостей 149
Параллельные прямые 149
Параллельные прямая и плоскость 149
Параллельные плоскости 150
Перпендикулярность прямых и плоскостей 151
Перпендикулярность плоскостей 152
Перпендикуляр и наклонные 153
Скрещивающиеся прямые 154
Углы в пространстве 155
Призма 156
Площадь поверхности и объем призмы 156
Параллелепипед 157
Пирамида 158
Правильная пирамида 158
Площадь поверхности и объем произвольной пирамиды 159
Площадь поверхности и объем правильной пирамиды 159
Тела вращения 160
Цилиндр 160
Конус 160
Площадь поверхности и объем цилиндра 160
Площадь поверхности и объем конуса 160
Сфера. Шар 161
Вписанные и описанные тела 162
Цилиндр, описанный около призмы 162
Цилиндр, вписанный в призму 162
Конус, описанный около пирамиды 163
Конус, вписанный в пирамиду 163
Шар, описанный около цилиндра 164
Шар, вписанный в цилиндр 165
Шар, описанный около конуса 166
Шар, вписанный в конус 167
Шар, описанный около призмы 168
Шар, вписанный в прямую призму 169
Шар, описанный около правильной пирамиды 170
Шар, вписанный в правильную пирамиду 171
Декартовы координаты 172
Уравнение плоскости 173
Взаимное расположение двух плоскостей 175
Уравнение сферы 176
СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ 177